Hallo Nils,
wenn der Absender eine Behörde war, sich auf der Adressseite oben benennt und den Brief mit dem Dienstsiegel verschließt (was ich hier unterstelle), dann war es ein Dienstbrief. Wenn man P.S. vergessen hat, ändert das nichts an der Tatsache, dass es ein Dienstbrief war, der frankiert wurde, so dass man davon ausgehen muss, dass die Absenderbehörde etwas dringendes von der Empfängerbehörde brauchte und dafür um schnellstmögliche Zustellung gebeten hat.
In der Regel liegen die Gründe bei Dienstexpressbriefen in den Vorschriften für die unterschieldlichen Verwaltungen, die oft mit Fristen gekoppelt waren. Es war auch nicht der Tag per se wichtig, sondern dass man, im Idealfall, durch den Expressen ein Schreiben sehr früh, z. B. um 8 Uhr morgens, zugestellt bekam, so dass mit etwas Glück die benötigte Ausfertigung noch am selben Morgen erfolgen konnte. Dann wurde die Dienstpost bei der Rücksendung u. U. am selben Tag zurück gesandt, so dass der Absender am Folgetag das Benötigte in Händen halten konnte.
Bei normaler Austragung hätten zwischen der Zustellung durch den Expressen und der üblichen Bestellung durch den Land- oder Stadtbriefträger mehrere Stunden liegen können, die dem Forschritt hinderlich waren oder zumindest sein konnten.
Mit deiner letzten Frage liegst du richtig - hier hat man sogar die Expeditionsnummer vergessen, weil es sehr dringend war. Man kann also getrost vom wichtigen Inneren auf die schlampige Ausführung des Äußeren schließen.
Liebe Grüsse von bayern klassisch